Équations du Second Degré

Voir aussi dans la même section: « Une démonstration intuitive du théorème de Pythagore »

L’esprit humain a naturellement tendance à supposer que les phénomènes autour de lui sont linéaires : si on multiplie la cause par un certain facteur comme deux ou trois, la conséquence sera multipliée par le même facteur.

C’est sans doute parce que beaucoup de choses sont effectivement linéaires : si je ramasse deux fois plus de bois, cela va peser deux fois plus lourd mais brûler deux fois plus longtemps. Si je marche deux fois plus longtemps ou deux fois plus vite je vais aller deux fois plus loin, etc.

Mais il y a aussi beaucoup de phénomènes qui ne sont pas linéaires. Par exemple certains phénomènes sont dits « quadratiques » parce que la conséquence évolue avec le carré de la cause. On rappelle que le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même : par exemple le carré de $4$, noté $4²$, est $4 \times 4 = 16$.

L’exemple le plus connu est celui de la surface d’un carré de côté $2x$ : elle n’est pas de deux fois la surface d’un carré de côté $x$, mais de $2² = 4$ fois la surface. C’est d’ailleurs de là que vient le nom de « carré d’un nombre ».

Mais il y a beaucoup d’autres exemples de phénomènes naturels quadratiques, souvent parce qu’ils sont liés d’une façon plus ou moins cachée à une surface. Si on se met deux fois plus loin d’une source de lumière, on ne reçoit pas deux fois moins de lumière, mais quatre fois moins. La force de gravité, qui nous maintient sur Terre, évolue aussi avec le carré de la distance. La résistance de l’air face à un objet en mouvement évolue avec le carré de la vitesse de cet objet. On peut continuer la liste pendant des jours.

C’est pourquoi, en science, on doit souvent résoudre des équations où apparaissent des quantités au carré, et pourquoi il est important de pouvoir les résoudre.

Une équation qui fait intervenir le carré de l’inconnue $x$, noté $x²$, est appelé « équation du second degré ». Toutes les équations du second degré peuvent se mettre sous cette forme-là :

Par exemple :

Et on retrouve la forme de départ avec $a = 4$, $b = -1$, et $c = -5$.

On suppose que $a$ n’est pas égal à zéro. Si c’était le cas, alors l’équation serait $bx + c = 0$, ce serait une équation de degré 1, et la solution serait simplement $x = - c / b$.

Comme $a$ est différent de zéro, on peut ré-écrire l’équation sous cette forme :

Puis, on utilise à nouveau le fait que $a \neq 0$ pour dire que c’est forcément l’expression entre parenthèses qui est nulle :

Cette forme est un peu plus simple parce qu’il n’y a pas de facteur devant $x²$. Aussi, on reconnaît dans les deux premiers termes le début d’une des « identités remarquables » qu’on apprend au lycée :

Qu’on apprend plus souvent dans l’autre sens :

Ici, $A$ serait clairement $x$. Pour la valeur de $B$, on est tenté de prendre $\frac{b}{a}$, mais il nous manque le facteur $2$ de $2AB$. On utilise le fait que la valeur d’une fraction ne change pas quand on multiplie le numérateur et le dénominateur par la même quantité :

On peut alors écrire notre expression de cette façon :

Et on va utiliser $B = \frac{b}{2a}$ dans l’identité remarquable.

Il nous manque encore le terme $B²$ pour pouvoir utiliser l’identité remarquable. On utilise une autre technique classique pour faire apparaître un terme qui nous manque : on ajoute $+ B² - B²$ dans notre expression. On obtient une expression toujours égale à celle d’avant puisque $+ B²$ et $- B²$ s’annulent, et on a le $+ B²$ qui nous manquait, au prix d’avoir un $- B²$ qui reste et dont il faudra s’occuper plus tard.

On applique l’identité remarquable aux trois premiers termes :

Puis on développe le carré dans le terme de droite :

Pour regrouper les deux fractions, on les met au même dénominateur. Le « plus petit commun multiple » de $4a²$ et $a$ est $4a²$, donc on doit simplement mettre la deuxième fraction au dénominateur $4a²$, et pour cela comme tout à l’heure on multiplie le numérateur et le dénominateur par la même quantité, ici $4a$ :

On a alors une seule fraction pour la partie droite de notre expression :

Cela nous rappelle une autre identité remarquable :

Appliquer cette identité permettrait de supprimer les carrés et d’obtenir une expression avec seulement des $x$ mais sans $x²$.

On cherche donc à exprimer le terme de droite comme le carré de quelque chose.

Pour le dénominateur, $4a²$, c’est facile : c’est le carré de $2a$.

Le numérateur va avoir un rôle plus complexe, donc on lui donne un nom, le « discriminant », et on le représente par la lettre grecque « delta majuscule » $\Delta$ :

On note sa racine carrée $\delta$, la lettre grecque « delta minuscule » :

Notre expression devient alors

Et on peut appliquer l’identité remarquable :

La forme finale que l’on veut obtenir est :

qui est égale à zéro quand $x = x_1$ ou $x = x_2$ ; $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de notre équation.

On peut facilement obtenir cette forme à partir de notre expression :

On a donc les deux solutions de notre équation : les valeurs de $x$ telles que $ax² + bx + c = 0$ sont

Ou, si on remplace $\delta$ par sa valeur en fonction de $a$, $b$ et $c$ :

On utilise parfois le symbole $\pm$ pour représenter en une seule expression ces deux valeurs où il n’y a que un signe qui change de l’une à l’autre :

D’ailleurs, si $b² - 4ac = 0$, on n’a pas deux mais une seule solution :

Mais tous les calculs précédents restent valides, et on peut simplifier notre expression :

Il y a en revanche un cas où notre raisonnement pose problème : celui où le discriminant est négatif :

En effet, dans notre raisonnement on a utilisé la racine carrée du discriminant, $\delta = \sqrt{\Delta} = \sqrt{b² - 4ac}$. Mais comment peut-on avoir un nombre qui, quand on le multiplie par lui-même, donne une valeur négative ? Un nombre positif multiplié par lui-même donne un nombre positif, comme $4 \times 4 = 16$. Mais un nombre négatif, multiplié par lui-même, donne aussi un nombre positif ! Par exemple, $(-4) \times (-4) = 16$.

Pendant longtemps, les mathématiciens considéraient simplement que l’équation n’avait pas de solution quand le discriminant était négatif : si $b² - 4ac < 0$, alors

parce que la partie de gauche est un carré, qui est soit nul soit positif, et la partie de droite est négative.

Au XVI^e siècle, des mathématiciens ont commencé à suggérer l’existence de nombres dont le carré est négatif. On les appelle aujourd’hui les « nombres complexes ». On peut les construire avec les nombres habituels, dits « nombres réels », et un nombre particulier noté $i$ et défini par

C’est à dire

Cela permet d’exprimer la racine carrée de n’importe quelle valeur négative, dont celle de notre discriminant : $\sqrt{b² - 4ac} = i \sqrt{- (b² - 4ac)}$. On le montre en mettant $i \sqrt{- (b² - 4ac)}$ au carré :

où $- (b² - 4ac)$ est positif et a donc une racine carrée qui est un nombre « normal », « réel », comme on en a l’habitude.

L’expression des solutions que l’on avait obtenue plus tôt fonctionne donc dans tous les cas :

À deux précisions près :

• si $b² - 4ac = 0$ cette expression ne représente qu’une seule solution, qui est la seule solution de l’équation
• si $b² - 4ac < 0$ cette expression représente deux nombres complexes et l’équation n’a pas de solutions qui soient des nombres réels